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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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1. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
a) $f(x)=x^{7}+7 x^{5}+4 x$

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de $f(x)$

En este caso es un polinomio, no hay ninguna restricción, el dominio es $\mathbb{R}$.

2) Derivamos $f(x)$

$ f'(x) = 7x^6 + 35x^4 + 4 $

3) Igualamos $f'(x)$ a cero para buscar los puntos críticos

$7x^6 + 35x^4 + 4 = 0$ 

Fijate que las $x$ las tenés elevadas a potencias pares. Mirá con cariño esta expresión, ¿te das cuenta que nunca nunca puede valer cero? Por lo tanto, no tenemos puntos criticos. 

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

En este caso $f'(x)$ es continua en todos los reales y tampoco tiene raíces, así que simplemente nos quedo el intervalo $(-\infty, +\infty)$ 😅

5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \) 

Elegimos un número cualquiera del intervalo $(-\infty, +\infty)$ 😅, lo reemplazamos en $f'(x)$ y vemos el signo. Si querés hacelo para convencerte, pero ya por la forma que tiene $f'(x)$ siempre va a ser positiva. Eso nos dice entonces que $f$ es creciente. 

Por lo tanto:

Intervalo de crecimiento: $\mathbb{R}$
Intervalo de decrecimiento: $\emptyset$
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Avatar Valentina 14 de mayo 15:11
Hola profe, como te va? no entiendo por que la expresion no puede valer 0, tiene que quedarme como una cuadratica? como hago para darme cuenta en general? :(
Avatar Flor Profesor 15 de mayo 09:02
@Valentina Hola Valen! En principio, fijate que vos ves esa ecuación y no la podrías despejar jaja porque no es una cuadrática, tenemos $x^6$ y $x^4$ -> Entonces ahi es cuando te podés dar cuenta que puede venir por otro lado (porque sino jamás podríamos despejar esos puntos críticos) y es que quizás no los tenga jejeje... No nos apareció taaaan seguido estas situaciones, pero fijate que vos tenés la $x$ siempre elevada a potencias pares (o sea, no importa lo que pongas ahí, te va a dar positivo o cero, si $x=0$) y además tenés al final $+4$

Entonces, el peor de los casos si $x=0$, esa expresión va a valer $4$... ahora, si $x$ vale cualquier otra cosa, vas a tener más numeros siempre sumándose con el $4$, así que no hay chance que eso valga menos que $4$, mucho menos cero 

Se ve mejor?
Avatar Valentina 15 de mayo 17:32
@Flor aaa ahora sí, gracias profe!
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