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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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1. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
a) f(x)=x7+7x5+4xf(x)=x^{7}+7 x^{5}+4 x

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

En este caso es un polinomio, no hay ninguna restricción, el dominio es R\mathbb{R}.

2) Derivamos f(x)f(x)

f′(x)=7x6+35x4+4 f'(x) = 7x^6 + 35x^4 + 4

3) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para buscar los puntos críticos

7x6+35x4+4=07x^6 + 35x^4 + 4 = 0 

Fijate que las xx las tenés elevadas a potencias pares. Mirá con cariño esta expresión, ¿te das cuenta que nunca nunca puede valer cero? Por lo tanto, no tenemos puntos criticos. 

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

En este caso f′(x)f'(x) es continua en todos los reales y tampoco tiene raíces, así que simplemente nos quedo el intervalo (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 😅

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

Elegimos un número cualquiera del intervalo (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 😅, lo reemplazamos en f′(x)f'(x) y vemos el signo. Si querés hacelo para convencerte, pero ya por la forma que tiene f′(x)f'(x) siempre va a ser positiva. Eso nos dice entonces que ff es creciente. 

Por lo tanto:

Intervalo de crecimiento: R\mathbb{R}
Intervalo de decrecimiento: ∅\emptyset
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